Island var få minutter fra sin anden EM-deltagelse i træk, men endte med en lang næse i Ungarn.
To sene mål af Ungarn sikrede værterne en sejr på 2-1, og dermed er ungarerne klar til næste års slutrunde.
Det står allerede klart, at Ungarn havner i gruppe med Portugal, Frankrig og Tyskland.
Ungarns hovedstad, Budapest, er ligesom København en af EM's 12 værtsbyer, og ungarerne har fordel af hjemmebane på Puskas Arena i kampene mod Portugal og Frankrig, mens kampen mod Tyskland spilles i München.
Ungarn var også ved med EM i 2016, hvor holdet vandt sin gruppe og kvalificerede sig til ottendedelsfinalen.
Her var belgierne dog for stor en mundfuld, og Ungarn blev sendt ud med et nederlag på 0-4.
I det meste af torsdagens opgør så det ikke ud til, at Ungarn skulle få mulighed for at gentage den bedrift.
Island bragte sig på 1-0, da Everton-spilleren Gylfi Sigurdsson sparkede et frispark i nettet med hjælp fra Ungarns målmand Peter Gulacsi efter 11 minutter.
Den stilling holdt helt frem til det 88. minut, hvor et satsende hjemmehold bragte balance i regnskabet.
Loic Nego udnyttede sløset forsvarsspil til at sparke udligningen i nettet, og få minutter senere blev Salzburg-spilleren Dominik Szoboszlai matchvinder med en fladt langskud på en omstilling.
EM skulle være afholdt i juni og juli 2020, men på grund af coronapandemien blev slutrunden skubbet med et år.
/ritzau/
